Objectif général
L’objectif de ce programme est de former des personnes capables d’utiliser des mathématiques pour résoudre les problèmes posés par des situations concrètes.
L’algèbre linéaire, que ce soit dans ses aspects géométriques ou matriciels en constitue un point fort. Elle prépare à l’apprentissage des méthodes descriptives multidimensionnelles. Les probabilités, étudiées dans les niveaux précédents, sont consolidées avec les apports nouveaux du calcul intégral dans le cas des phénomènes continus et avec les théorèmes de convergence.
Le niveau de référence à l’entrée en classe préparatoire post BTSA-BTS-DUT est celui du BTSA. Un effort important a été fait pour simplifier la présentation des objets mathématiques rencontrés dans ce programme et l’exposition des résultats essentiels. Les développements formels ou trop théoriques doivent être évités. Une place importante doit être faite aux applications, exercices, problèmes, en relation le cas échéant avec les enseignements de physique, de chimie, de biologie et de sciences de la Terre, en évitant les situations artificielles ainsi que les exercices de pure virtuosité technique.
Le programme contient des travaux pratiques. Ils sont de deux sortes : les uns mettent en œuvre des techniques classiques et bien délimitées, dont la maîtrise est exigible des étudiants. Les autres, intitulés « Exemples de », visent à développer un savoir-faire ou à illustrer une idée : les étudiants doivent acquérir une certaine familiarité avec le type de problème considéré, mais aucune connaissance spécifique ne peut être exigée à leur propos et toutes les indications utiles doivent être fournies.
PROGRAMME |
RECOMMANDATIONS ET NIVEAU D’EXIGENCE |
PARTIE A : NOMBRES COMPLEXES |
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Objectif : Acquérir les notions de base sur les nombres complexes. Les nombres complexes sont utilisés en tant qu’outil, notamment pour la physique. |
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- Nombres complexes, nombres complexes conjugués. Représentation géométrique d’un nombre complexe : affixe d’un point, d’un vecteur. - Module d’un nombre complexe ; module d’un produit. Nombres complexes de module 1 ; argument d’un nombre complexe non nul, notation eiθ. ei(θ+θ') =eiθ .eiθ' d’addition ; formule de Moivre ; formules d’Euler : cos θ = 1/2(eiθ +e−iθ ), sin θ = 1/2i (eiθ −e−iθ) . Travaux pratiques - Résolution des équations du second degré à coefficients réels. - Exemples de résolution d’équations à coefficients complexes. |
L’interprétation des opérations sur les nombres complexes à l’aide de transformations du plan est hors programme. Aucune question ne pourra être posée sur les utilisations géométriques des nombres complexes. L’étude des racines nièmes d’un nombre complexe est hors programme. L’inégalité triangulaire est hors programme. La linéarisation des polynômes trigonométriques est hors programme. Les formules d’addition en trigonométrie ne sont pas à connaître. |
PARTIE B : GEOMETRIE |
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Objectif : Acquérir les notions de base de la géométrie pour leur utilité en sciences physiques et en probabilités. En outre, la géométrie sert à la fois de support intuitif et de terrain d’application à l’algèbre linéaire. |
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- Repères. Changement de repère. - Equations et représentations paramétriques d’une droite du plan ou de l’espace. - Equations et représentations paramétriques d’un plan de l’espace - Produit scalaire, norme euclidienne, orthogonalité. Travaux pratiques - Distance d’un point à une droite, à un plan. - Projection orthogonale sur une droite, sur un plan. - Exemples de projections non orthogonales. - Exemples de situations permettant de rencontrer : l’étude de la position relative, de l’orthogonalité de droites et de plans. - Distance d’un point à une droite, à un plan. - Projection orthogonale sur une droite, sur un plan. - Exemples de détermination analytique d’une projection. |
On n’envisage que des repères orthonormaux, en dimension 3 au plus. On envisage un changement d’origine ou bien un changement de base. Le produit scalaire est défini dans le plan ou dans l’espace par Σxiyi. Les symétries et les rotations sont hors programme. |
PARTIE C : ALGEBRE LINEAIRE |
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Objectif : Acquérir les outils de l’algèbre linéaire en vue de l’apprentissage des méthodes descriptives multidimensionnelles. |
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1. Matrices |
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- Opérations sur les matrices : addition, multiplication, produit par un scalaire, transposition. - Matrice inversible, matrice inverse. - Ecriture matricielle d’un système d’équations linéaires. Travaux pratiques - Exemples de résolution de systèmes d’équations linéaires. - Exemples d’inversion de matrices par résolution d’un système, par utilisation de la calculatrice. |
En statistique descriptive, les observations de p variables quantitatives sur n individus sont rassemblées en une matrice X à n lignes p colonnes. Lorsque les variables sont centrées la matrice XX est la matrice des variances-covariances. On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss. |
2. Espace vectoriel IRn sur IR |
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- Structure d’espace vectoriel de IRn : règles de calcul. - Sous-espaces vectoriels de IRn. - Intersection de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie. - Sous-espaces vectoriels supplémentaires. - Dépendance et indépendance linéaire d’une famille finie de vecteurs. - Bases et dimension de sous-espaces vectoriels de IRn . - Somme de deux sous-espaces vectoriels. - Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. - Vecteurs orthogonaux. - Sous espaces orthogonaux. - Orthogonal d’un vecteur. Travaux pratiques - Exemples de recherche du supplémentaire orthogonal à un sous espace vectoriel. |
On n’envisage que des espaces vectoriels IRn en dimension 4 au plus. Des illustrations sont données en dimension 2 ou 3, en relation avec la partie B. On admet que toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Le produit scalaire est défini dans IRn par Σxi yi. Le produit scalaire de deux vecteurs de IRn est représenté en écriture matricielle t XY. |
3. Application linéaire de IRn dans IRp |
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- Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition. - Noyau, image. - Relation : dim Ker f + dim Im f = n. - Application linéaire bijective. - Application linéaire réciproque. - Projecteur sur un sous espace vectoriel E de direction un sous espace vectoriel F. - Matrice d’une application linéaire de IRn dans IRp> , une base ayant été choisie dans chacun des espaces vectoriels IRn et IRp. - Valeurs propres, vecteurs propres d’une application linéaire de IRn dans IRn ou d’une matrice carrée, sous espaces propres. - Une application linéaire de IRn dans IRn ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable. - Une application linéaire de IRn dans IRn ou une matrice carrée est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à n. - Toute matrice carrée symétrique est diagonalisable. - Changement de base. Matrice de passage. Travaux pratiques - Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires, interprétation en termes d’application linéaire. - Exemples de situations mettant en œuvre des projecteurs et leurs propriétés. - Cas particulier des projecteurs orthogonaux. - Diagonalisation de matrices carrées. - Exemples d’application linéaire non diagonalisable. - Exemples de matrices symétriques. - Application de la diagonalisation au calcul de la puissance nième d’une matrice. |
Relation admise. L’étude de projecteurs prépare à l’analyse multidimensionnelle. Résultat admis Résultat admis |
4. Les Déterminants |
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- Déterminant d’une famille de n vecteurs de IRn. - Déterminant d’une matrice carrée. - Déterminant d’une application linéaire de IRn dans IRn. - Polynôme caractéristique. |
Aucune difficulté théorique n’est soulevée sur les déterminants. On admet qu’une famille de n vecteurs de IRn forme une base si et seulement si son déterminant est non nul |
PARTIE D : ANALYSE |
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Objectif : Appréhender l’analyse pour son utilité en probabilités en physique, en chimie et en biologie. |
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1. Fonctions réelles d’une variable réelle |
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- Limites, continuité. - Image d’un segment (resp. intervalle) par une fonction continue sur ce segment (resp. intervalle). - Fonctions bijectives. - Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. - Dérivabilité. - Dérivée seconde. - Formule des accroissements finis. Travaux pratiques - Etude de fonctions logarithmes, exponentielles et puissances. - Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielles, puissances. - Exemples de calcul approché d’une racine d’une équation : f (x) = 0 |
Les démonstrations sont hors programme. On illustre cette notion à l’aide de fonctions classiques. Notation différentielle de la dérivée. L’étude de la concavité et des points d’inflexion est hors programme. On illustre cette formule par une représentation graphique. L’inégalité des accroissements finis n’est pas exigible, celle-ci pouvant être retrouvée à partir de la formule. |
2. Suites réelles |
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- Démonstration par récurrence. - Représentation graphique des termes d’une suite. - Suite convergente. - Suite divergente. - Limites et relation d’ordre. - Existence d’une limite finie ou infinie pour les suites monotones. - Toute suite croissante et majorée est convergente. Travaux pratiques - Suites arithmétiques et géométriques, somme des n premiers termes de telles suites. - Exemples de suites arithmético-géométriques. - Exemples d’étude de limites de suites définies par Un = f (n) ; Un+1 = f (Un ). - Exemples de suites définies implicitement. |
Résultat admis. Résultat admis. Pour déterminer la limite d’une suite convergente définie par Un+1 = f (Un ), on utilise le résultat : Si lim Un = l et f continue en l, alors l = f(l). |
3. Calcul intégral |
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- Définition de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment : l’existence d’une primitive F de f sur [a, b] étant admise,  - Interprétation géométrique.- Relation de Chasles, linéarité. - Positivité de l’intégrale, ordre sur les intégrales. - Intégration par parties. - Intégration par changement de variable. - Intégrale généralisée : définition de l’intégrale d’une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert. Travaux pratiques - Calcul d’intégrales portant sur des fonctions intervenant en probabilités. - Application du calcul intégral au calcul d’aires. - Exemples d’étude de suites définies par des intégrales. - Exemples d’étude de fonctions définies par des intégrales. |
Le changement de variable est précisé. La convergence (ou la divergence) de l’intégrale équivaut à l’existence (ou non) d’une limite finie pour une primitive. Tout critère de convergence (ou de divergence) est hors programme. On se limite à des fonctions de la forme :  |
4. Equations différentielles |
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- Résolution des équations différentielles du premier ordre de la forme : y' + a(x) y = b(x), où a et b sont des fonctions réelles continues sur un intervalle. Travaux pratiques - Exemples d’étude d’équations différentielles linéaires du premier ordre. |
On choisit des exemples issus de la biologie, de la chimie et de la physique. |
PARTIE E : PROBABILITES |
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Objectif : Consolider les acquis en probabilités et acquérir de nouvelles notions liées en particulier au calcul intégral. |
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1. Variables aléatoires réelles discrètes |
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Travaux pratiques - Probabilités conditionnelles, événements indépendants. - Théorème des probabilités totales. - Pour une variable aléatoire réelle discrète : loi de probabilité, fonction de répartition, espérance mathématique ; variance ; écart type. - Lois usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale. - Couples de variables aléatoires discrètes réelles : Loi conjointe, lois marginales, covariance. - Indépendance de deux variables aléatoires réelles discrètes. - Somme de deux variables aléatoires réelles discrètes, espérance mathématique, variance, cas de l’indépendance. |
Cette partie peut ne pas faire l’objet d’un cours. C’est pourquoi elle ne comporte que des travaux pratiques. Un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve. On se limite au cas où les variables aléatoires prennent un nombre fini de valeurs. On peut remarquer qu’une variable aléatoire de loi Binomiale est la somme de variables de Bernoulli de même paramètre et mutuellement indépendantes. |
2. Variables aléatoires réelles à densite |
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Travaux pratiques - Loi de probabilité (elle est définie par la fonction densité de probabilité). On se limite au cas où la fonction de répartition est continue sur IR et, de plus, admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. - Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire continue. - Loi normale. - Somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois normales. - Théorème de la limite centrée. Application à la loi binomiale. - Exemples d’étude de problèmes de probabilité issus de jeux, de la vie courante ou des sciences. - Exemples d’approximation de la loi binomiale par la loi normale. - Exemples d’utilisation de lois continues, dont la loi uniforme et la loi exponentielle. |
Cette partie peut être précisée en utilisant les intégrales généralisées. L’égalité  doit être connue des étudiants en faisant référence à la fonction densité de la loi normale.La notion d’indépendance de deux variables de lois normales est présentée comme une simple extension des résultats énoncés pour les variables aléatoires discrètes. On ne soulève aucune difficulté théorique. |